以下の図で、\( \angle a = \angle c \)、\( \angle b = \angle d \)

例題１

\( \angle x \)の値を求めよ。

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赤の２本の直線に着目し、対頂角が等しいことから、赤の角が\(\color{red}{30^{\circ}}\)となる。


青の直線に着目すると、青の角が\(\color{blue}{180^{\circ}}\)となる。


\( \angle x = 180^{\circ} - ( 30^{\circ} + 70^{\circ} ) = 80^{\circ} \)

\( \ell /\!/ m \)とすると
\( \angle a = \angle b \)（同位角）、\( \angle a = \angle c \)（錯角）

例題２

\( \ell /\!/ m \)のとき、\( \angle x \)の値を求めよ。

解き方　表示

平行線の同位角が等しいことから、赤の角が\(\color{red}{70^{\circ}}\)となる。


\( \angle x = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \)

必要に応じて補助線を入れたり、他の図形の性質（三角形の内角の和が\(180^{\circ}\)など）を使うと解ける場合がある。

例題３

\( \ell /\!/ m \)のとき、\( \angle x \)の値を求めよ。

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・角\(x\)がある頂点を通り、\(\ell\)と\(m\)に平行な直線を引く（点線）。


・平行線の錯角が等しいことから、図のように角度が決定する。


\( \angle x = \color{red}{40^{\circ}} + \color{blue}{60^{\circ}} = 100^{\circ} \)

例題４

\( \ell /\!/ m \)のとき、\( \angle x \)の値を求めよ。

解き方　表示

・平行線の同位角とその角の対頂角が等しいことから、赤の角が\(\color{red}{70^{\circ}}\)となる。


・隣り合う角の和が\(180^{\circ}\)であることから、青の角が
\(180^{\circ}-140^{\circ}=\color{blue}{40^{\circ}}\)となる。


三角形の内角の和が\(180^{\circ}\)であることから
\( \angle x = 180^{\circ} - ( \color{red}{70^{\circ}} + \color{blue}{40^{\circ}} ) = 70^{\circ} \)

三角形の内角の和は\(180^{\circ}\)
\( \angle a + \angle b + \angle c = 180^{\circ} \)

例題５

\( \angle x \)の値を求めよ。

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\( \angle x + 40^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ} \)より
\( \angle x = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 75^{\circ} = 65^{\circ} \)

以下の関係はよく利用される
\( \angle d = \angle a + \angle b \)

（証明）

\( \angle a + \angle b + \angle c = 180^{\circ} \)より
\( 180^{\circ} - \angle c = \angle a + \angle b \)　…①

\( \angle c + \angle d = 180^{\circ} \)より
\( 180^{\circ} - \angle c = \angle d \)　…②

①、②より\( \angle d = \angle a + \angle b \)

例題６

\( \angle x \)の値を求めよ。

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\( \angle x = 65^{\circ} + 40^{\circ} = 105^{\circ} \)

特定の三角形に着目して角度を次々に求めれば、最終的に求めたい角度に到達することができる。

例題７

\( \angle x \)の値を求めよ。

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・赤の三角形に着目すると、
\( \angle a = 50^{\circ} + 45^{\circ} = 95^{\circ} \)


・青の三角形に着目すると、
\( \angle x = 95^{\circ} - 60^{\circ} = 35^{\circ} \)

例題８

\( \angle x \)の値を求めよ。

解き方　表示

・赤の三角形に着目すると、
\( \angle a = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 65^{\circ} = 65^{\circ} \)


・青の三角形に着目すると、
\( \angle x = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 60^{\circ} = 55^{\circ} \)

例題９

\( \angle x \)の値を求めよ。ただし、○は同じ角度であることをあらわす。

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・赤の三角形に着目すると、
\( \angle a = 85^{\circ} - 55^{\circ} = 30^{\circ} \)


・青の三角形に着目すると、
\( \angle x = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 85^{\circ} = 65^{\circ} \)

不明な角を文字を使って表し、既知の関係（三角形の内角の和が\(180^{\circ}\)や、平行線の同位角・錯角が等しいなど）を式にすると、方程式で解ける場合がある。

例題１０

\( \angle x \)の値を求めよ。ただし、○と●はそれぞれ同じ角度であることをあらわす。

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・赤の三角形に着目すると、
\( 64^{\circ} + 2 \times \angle a + 2 \times \angle b = 180^{\circ} \)
\( \angle a + \angle b = 58^{\circ} \)


・青の三角形に着目すると、
\( \angle a + \angle b + \angle x = 180^{\circ} \)
\( \angle x = 180^{\circ} - ( \angle a + \angle b ) \)
\( \angle x = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \)

\(n\)角形の内角の和：\( 180 \times ( n - 2 ) ^{\circ} \)
多角形の外角の和：どんな多角形でも\( 360^{\circ} \)

例題１１

内角の和が\( 1800^{\circ} \)になるのは何角形か。

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\(n\)角形とすると
\( 180 \times ( n - 2 ) = 1800 \)
\( n = 12 \)
より、十二角形

例題１２

外角の大きさが\( 24^{\circ} \)になるのは正何角形か。

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\( 360 \div 24 = 15 \)
より、正十五角形

通常の多角形の角度を求める計算の場合、内角よりも外角を使ったほうが計算が簡単になる場合が多い（どんな多角形でも外角の和が\( 360^{\circ} \)であるため、内角の和に比べて数字が小さくなる）。

例題１３

\( \angle x \)の値を求めよ。

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・求めることができる外角を計算する。
\( 180^{\circ} - 105^{\circ} = \color{red}{75^{\circ}} \)
\( 180^{\circ} - 100^{\circ} = \color{red}{80^{\circ}} \)


\( 75^{\circ} + 70^{\circ} + 80^{\circ} + 50^{\circ} + \angle x = 360^{\circ} \)
\( 275^{\circ} + \angle x = 360^{\circ} \)
\( \angle x = 360^{\circ} - 275^{\circ} = 85^{\circ} \)

補助線を引いたり、必要な部分を抜き出すなどして、求められる角度を求める。

例題１４

\( \angle x \)の値を求めよ。

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・この図形は四角形なので、内角の和が\( 180^{\circ} \times ( \color{green}{4} -2 ) = \color{blue}{360^{\circ}} \)であることを利用する。

\( 30^{\circ} + 50^{\circ} + 40^{\circ} + \color{red}{\angle a} = 360^{\circ} \)
\( 120^{\circ} + \color{red}{\angle a} = 360^{\circ} \)
\( \color{red}{\angle a} = 360^{\circ} - 120^{\circ} = \color{red}{240^{\circ}} \)
\( \angle x = \color{blue}{360^{\circ}} - \color{red}{\angle a} = \color{blue}{360^{\circ}} - \color{red}{240^{\circ}} = 120^{\circ} \)

例題１５

\( \angle x \)の値を求めよ。

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・赤および青の三角形に着目し、それぞれ角を求める。

\( 30^{\circ} + 30^{\circ} = \color{red}{60^{\circ}} \)

\( 35^{\circ} + 40^{\circ} = \color{blue}{75^{\circ}} \)

・青く塗った三角形に着目して\( \angle x \)を求める。

\( \angle x = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ} \)

例題１６

\( \ell /\!/ m \)のとき、\( \angle x \)の値を求めよ。ただし、ABCDEは正五角形である。

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・五角形の内角の和は
\( 180^{\circ} \times ( 5 - 2 ) = 540^{\circ} \)
正五角形の１つの内角は
\( 540^{\circ} \div 5 = 108^{\circ} \)
したがって、\( \angle E = 108^{\circ} \)


・\( \ell /\!/ m \)から、点Eを通り\( \ell \)（あるいは\( m \)）と平行な線（点線）を引くと、錯角が等しいことから下図のように角度が決まる

\( 180^{\circ} - 119^{\circ} = \color{red}{61^{\circ}} \)
\( 108^{\circ} - \color{red}{61^{\circ}} = \color{blue}{47^{\circ}} \)

・正五角形の内角\( \angle D = 108^{\circ} \)だから、青の三角形に着目すると

\( \angle x = 108^{\circ} + \color{blue}{47^{\circ}} = 155^{\circ} \)