以下の図で、$\angle a = \angle c$、$\angle b = \angle d$

例題１

$\angle x$の値を求めよ。

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赤の２本の直線に着目し、対頂角が等しいことから、赤の角が$\color{red}{30^{\circ}}$となる。


青の直線に着目すると、青の角が$\color{blue}{180^{\circ}}$となる。


$\angle x = 180^{\circ} - ( 30^{\circ} + 70^{\circ} ) = 80^{\circ}$

$\ell /\!/ m$とすると
$\angle a = \angle b$（同位角）、$\angle a = \angle c$（錯角）

例題２

$\ell /\!/ m$のとき、$\angle x$の値を求めよ。

解き方　表示

平行線の同位角が等しいことから、赤の角が$\color{red}{70^{\circ}}$となる。


$\angle x = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$

必要に応じて補助線を入れたり、他の図形の性質（三角形の内角の和が$180^{\circ}$など）を使うと解ける場合がある。

例題３

$\ell /\!/ m$のとき、$\angle x$の値を求めよ。

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・角$x$がある頂点を通り、$\ell$と$m$に平行な直線を引く（点線）。


・平行線の錯角が等しいことから、図のように角度が決定する。


$\angle x = \color{red}{40^{\circ}} + \color{blue}{60^{\circ}} = 100^{\circ}$

例題４

$\ell /\!/ m$のとき、$\angle x$の値を求めよ。

解き方　表示

・平行線の同位角とその角の対頂角が等しいことから、赤の角が$\color{red}{70^{\circ}}$となる。


・隣り合う角の和が$180^{\circ}$であることから、青の角が
$180^{\circ}-140^{\circ}=\color{blue}{40^{\circ}}$となる。


三角形の内角の和が$180^{\circ}$であることから
$\angle x = 180^{\circ} - ( \color{red}{70^{\circ}} + \color{blue}{40^{\circ}} ) = 70^{\circ}$

三角形の内角の和は$180^{\circ}$
$\angle a + \angle b + \angle c = 180^{\circ}$

例題５

$\angle x$の値を求めよ。

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$\angle x + 40^{\circ} + 75^{\circ} = 180^{\circ}$より
$\angle x = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 75^{\circ} = 65^{\circ}$

以下の関係はよく利用される
$\angle d = \angle a + \angle b$

（証明）

$\angle a + \angle b + \angle c = 180^{\circ}$より
$180^{\circ} - \angle c = \angle a + \angle b$　…①

$\angle c + \angle d = 180^{\circ}$より
$180^{\circ} - \angle c = \angle d$　…②

①、②より$\angle d = \angle a + \angle b$

例題６

$\angle x$の値を求めよ。

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$\angle x = 65^{\circ} + 40^{\circ} = 105^{\circ}$

特定の三角形に着目して角度を次々に求めれば、最終的に求めたい角度に到達することができる。

例題７

$\angle x$の値を求めよ。

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・赤の三角形に着目すると、
$\angle a = 50^{\circ} + 45^{\circ} = 95^{\circ}$


・青の三角形に着目すると、
$\angle x = 95^{\circ} - 60^{\circ} = 35^{\circ}$

例題８

$\angle x$の値を求めよ。

解き方　表示

・赤の三角形に着目すると、
$\angle a = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 65^{\circ} = 65^{\circ}$


・青の三角形に着目すると、
$\angle x = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 60^{\circ} = 55^{\circ}$

例題９

$\angle x$の値を求めよ。ただし、○は同じ角度であることをあらわす。

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・赤の三角形に着目すると、
$\angle a = 85^{\circ} - 55^{\circ} = 30^{\circ}$


・青の三角形に着目すると、
$\angle x = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 85^{\circ} = 65^{\circ}$

不明な角を文字を使って表し、既知の関係（三角形の内角の和が$180^{\circ}$や、平行線の同位角・錯角が等しいなど）を式にすると、方程式で解ける場合がある。

例題１０

$\angle x$の値を求めよ。ただし、○と●はそれぞれ同じ角度であることをあらわす。

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・赤の三角形に着目すると、
$64^{\circ} + 2 \times \angle a + 2 \times \angle b = 180^{\circ}$
$\angle a + \angle b = 58^{\circ}$


・青の三角形に着目すると、
$\angle a + \angle b + \angle x = 180^{\circ}$
$\angle x = 180^{\circ} - ( \angle a + \angle b )$
$\angle x = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$

$n$角形の内角の和：$180 \times ( n - 2 ) ^{\circ}$
多角形の外角の和：どんな多角形でも$360^{\circ}$

例題１１

内角の和が$1800^{\circ}$になるのは何角形か。

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$n$角形とすると
$180 \times ( n - 2 ) = 1800$
$n = 12$
より、十二角形

例題１２

外角の大きさが$24^{\circ}$になるのは正何角形か。

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$360 \div 24 = 15$
より、正十五角形

通常の多角形の角度を求める計算の場合、内角よりも外角を使ったほうが計算が簡単になる場合が多い（どんな多角形でも外角の和が$360^{\circ}$であるため、内角の和に比べて数字が小さくなる）。

例題１３

$\angle x$の値を求めよ。

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・求めることができる外角を計算する。
$180^{\circ} - 105^{\circ} = \color{red}{75^{\circ}}$
$180^{\circ} - 100^{\circ} = \color{red}{80^{\circ}}$


$75^{\circ} + 70^{\circ} + 80^{\circ} + 50^{\circ} + \angle x = 360^{\circ}$
$275^{\circ} + \angle x = 360^{\circ}$
$\angle x = 360^{\circ} - 275^{\circ} = 85^{\circ}$

補助線を引いたり、必要な部分を抜き出すなどして、求められる角度を求める。

例題１４

$\angle x$の値を求めよ。

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・この図形は四角形なので、内角の和が$180^{\circ} \times ( \color{green}{4} -2 ) = \color{blue}{360^{\circ}}$であることを利用する。

$30^{\circ} + 50^{\circ} + 40^{\circ} + \color{red}{\angle a} = 360^{\circ}$
$120^{\circ} + \color{red}{\angle a} = 360^{\circ}$
$\color{red}{\angle a} = 360^{\circ} - 120^{\circ} = \color{red}{240^{\circ}}$
$\angle x = \color{blue}{360^{\circ}} - \color{red}{\angle a} = \color{blue}{360^{\circ}} - \color{red}{240^{\circ}} = 120^{\circ}$

例題１５

$\angle x$の値を求めよ。

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・赤および青の三角形に着目し、それぞれ角を求める。

$30^{\circ} + 30^{\circ} = \color{red}{60^{\circ}}$

$35^{\circ} + 40^{\circ} = \color{blue}{75^{\circ}}$

・青く塗った三角形に着目して$\angle x$を求める。

$\angle x = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ}$

例題１６

$\ell /\!/ m$のとき、$\angle x$の値を求めよ。ただし、ABCDEは正五角形である。

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・五角形の内角の和は
$180^{\circ} \times ( 5 - 2 ) = 540^{\circ}$
正五角形の１つの内角は
$540^{\circ} \div 5 = 108^{\circ}$
したがって、$\angle E = 108^{\circ}$


・$\ell /\!/ m$から、点Eを通り$\ell$（あるいは$m$）と平行な線（点線）を引くと、錯角が等しいことから下図のように角度が決まる

$180^{\circ} - 119^{\circ} = \color{red}{61^{\circ}}$
$108^{\circ} - \color{red}{61^{\circ}} = \color{blue}{47^{\circ}}$

・正五角形の内角$\angle D = 108^{\circ}$だから、青の三角形に着目すると

$\angle x = 108^{\circ} + \color{blue}{47^{\circ}} = 155^{\circ}$