二元一次方程式の一般的な形\( px + qy = r \)から、一次関数の式の一般的な形\( y = ax + b \)へ変形します。

例題１

\( 3x + 4y = 8 \)を、\( y= ... \)の形に直しなさい

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・式を変形して、\(y\)について解く
→　\( 4y = -3x + 8 \)
　　\( y = - \frac{3}{4}x + 2 \)

\( px + qy = r \)の形の式から、一次関数のグラフをかきます（\(y\)切片の値は整数）。

例題２

一次関数\( 3x + 4y = 8 \)のグラフをかきなさい

解き方　表示

・\(y=...\)の形に式を変形します
→　\( y = - \frac{3}{4}x + 2 \)

・傾きと\(y\)切片の値からグラフをかきます
→　傾き：\(\color{red}{-\frac{3}{4}}\)、\(y\)切片：\(\color{blue}{2}\)

\(y\)切片の値が分数の場合に、一次関数の式からグラフをかくことと、逆に、グラフから一次関数の式を求めます。プリントでは、２（１）ページ目が１（２）ページ目の答えになっています。

例題３

一次関数\( y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)のグラフをかきなさい

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・\(x\)座標と\(y\)座標の両方とも整数値の点を探します
→　\(y=0\)を代入^*
　　\(0=-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\)
　　\(x=2\)　つまり　点\(\color{blue}{(2,0)}\)を通ります


・傾きの値から、他の点に印をつけます
傾き：\( \color{red}{-\frac{1}{3}} \)


・すべての点を直線で結びます


^*　\(y=0\)の代入で\(x\)が整数値にならない場合は、
\(x=1\)　→　\(x=-1\)　→　\(x=2\)　→　…
のように代入して、\(x\)座標と\(y\)座標の両方とも整数値の点を探し出します

例題４

以下のグラフが表す一次関数の式を求めなさい

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・格子点（座標が整数値の点）にすべて印をつけます


・傾きを読み取ります
→　以下の例では、傾きは\(\color{red}{-\frac{1}{3}}\)


・\(y\)軸上に格子点がないので、どこか１つの格子点の座標を読み取ります
→　点\(\color{blue}{(2,0)}\)


・傾きと格子点の座標から式を求めます
→　傾き\(\color{red}{-\frac{1}{3}}\)の直線なので
\(y=\color{red}{-\frac{1}{3}}x+b\)
点\(\color{blue}{(2,0)}\)を通るので
\(\color{blue}{0}=\color{red}{-\frac{1}{3}}\times\color{blue}{2}+b\)
\(b=\frac{2}{3}\)
よって、一次関数の式は
\(y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\)

\( px + qy = r \)の形の式から、一次関数のグラフをかきます（\(y\)切片の値が分数）。

例題５

一次関数\( x + 3y = 2 \)のグラフをかきなさい

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・\(y\)について解きます
→　\( y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)

・\(y\)切片が整数ではないので、\(x\)座標と\(y\)座標の両方とも整数値の点を探します
→　\(y=0\)を代入します^*
　　\(x + 3\times0 = 2\)
　　\(x=2\)
　　\(y=0\)のとき\(x=2\)なので、点\(\color{blue}{(2,0)}\)を通ります


・傾きの値から、他の点に印をつけます
傾き：\( \color{red}{-\frac{1}{3}} \)


・すべての点を直線で結びます


^*　\(y=0\)の代入で\(x\)が整数値にならない場合は、
\(x=1\)　→　\(x=-1\)　→　\(x=2\)　→　…
のように代入して、\(x\)座標と\(y\)座標の両方とも整数値の点を探し出します

\(x\)軸または\(y\)軸に平行な直線をかいたり、グラフから直線の式を求めます。

例題６

直線\(x=3\)のグラフをかきなさい

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・\(x=p\)（\(p\)は定数）のグラフは、\(x\)座標が\(p\)の点だけを通ります
→　 直線\(x=3\)は、　…\((3,-1)\)、\((3,0)\)、\((3,1)\)、…などの点を通ります

・点を結ぶ直線をかきます

\(x=p\)（\(p\)は定数）のグラフは\(y\)軸に平行な直線になります

例題７

以下の直線の式を求めよ

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\(x\)軸に平行な直線であるため、直線上の点の\(y\)座標は一定になります
→　\(y\)座標が\(\color{red}{-4}\)で一定なので、直線の式は
\(y=-4\)
となります

２つの直線の交点は、それぞれの直線の式を連立方程式と見たときに、その解と同じになります。逆に、式が表す直線を作図して交点を求めることができれば、連立方程式を解くことができます。

例題８

連立方程式
\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=-1 …①\\ 4x+y=2…② \end{array} \right. \end{eqnarray} \)
をグラフを使って解きなさい。

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・２つの一次関数のグラフをかく
→　①、②はそれぞれ以下のように変形できる
\( \color{red}{ y = -x -1…①’} \)
\( \color{blue}{ y=-4x+2…②’ } \)
グラフは下図


・２つのグラフの交点をもとめる
→　交点が\((1,-2)\)なので
　　答えは\((x,y)=(1,-2)\)

例題９

２つの直線の交点の座標を求めよ

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・直線の式を求める
①傾き：\(\color{red}{-\frac{3}{4}}\)、\(y\)切片：\(\color{red}{+3}\)
\(\color{red}{y=-\frac{3}{4}x+3}\)…①
②傾き：\(\color{blue}{+1}\)、\(y\)切片：\(\color{blue}{+2}\)
\(\color{blue}{y=x+2}\)…②


・連立方程式を解く
→　①、②の式を整理すると
\(3x+4y=12\)…①’
\(x-y=-2\)…②’
①’＋②’×4　\(7x=4\)
\(x=\frac{4}{7}\)…③
③を②に代入
\(y=\frac{4}{7}+2=\frac{18}{7}\)
\((x,y)=(\frac{4}{7},\frac{18}{7})\)
つまり、直線①と②の交点は\((\frac{4}{7},\frac{18}{7})\)