二元一次方程式の一般的な形$px + qy = r$から、一次関数の式の一般的な形$y = ax + b$へ変形します。

例題１

$3x + 4y = 8$を、$y= ...$の形に直しなさい

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・式を変形して、$y$について解く
→　$4y = -3x + 8$
　　$y = - \frac{3}{4}x + 2$

$px + qy = r$の形の式から、一次関数のグラフをかきます（$y$切片の値は整数）。

例題２

一次関数$3x + 4y = 8$のグラフをかきなさい

解き方　表示

・$y=...$の形に式を変形します
→　$y = - \frac{3}{4}x + 2$

・傾きと$y$切片の値からグラフをかきます
→　傾き：$\color{red}{-\frac{3}{4}}$、$y$切片：$\color{blue}{2}$

$y$切片の値が分数の場合に、一次関数の式からグラフをかくことと、逆に、グラフから一次関数の式を求めます。プリントでは、２（１）ページ目が１（２）ページ目の答えになっています。

例題３

一次関数$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$のグラフをかきなさい

解き方　表示

・$x$座標と$y$座標の両方とも整数値の点を探します
→　$y=0$を代入^*
　　$0=-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$
　　$x=2$　つまり　点$\color{blue}{(2,0)}$を通ります


・傾きの値から、他の点に印をつけます
傾き：$\color{red}{-\frac{1}{3}}$


・すべての点を直線で結びます


^*　$y=0$の代入で$x$が整数値にならない場合は、
$x=1$　→　$x=-1$　→　$x=2$　→　…
のように代入して、$x$座標と$y$座標の両方とも整数値の点を探し出します

例題４

以下のグラフが表す一次関数の式を求めなさい

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・格子点（座標が整数値の点）にすべて印をつけます


・傾きを読み取ります
→　以下の例では、傾きは$\color{red}{-\frac{1}{3}}$


・$y$軸上に格子点がないので、どこか１つの格子点の座標を読み取ります
→　点$\color{blue}{(2,0)}$


・傾きと格子点の座標から式を求めます
→　傾き$\color{red}{-\frac{1}{3}}$の直線なので
$y=\color{red}{-\frac{1}{3}}x+b$
点$\color{blue}{(2,0)}$を通るので
$\color{blue}{0}=\color{red}{-\frac{1}{3}}\times\color{blue}{2}+b$
$b=\frac{2}{3}$
よって、一次関数の式は
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$

$px + qy = r$の形の式から、一次関数のグラフをかきます（$y$切片の値が分数）。

例題５

一次関数$x + 3y = 2$のグラフをかきなさい

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・$y$について解きます
→　$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$

・$y$切片が整数ではないので、$x$座標と$y$座標の両方とも整数値の点を探します
→　$y=0$を代入します^*
　　$x + 3\times0 = 2$
　　$x=2$
　　$y=0$のとき$x=2$なので、点$\color{blue}{(2,0)}$を通ります


・傾きの値から、他の点に印をつけます
傾き：$\color{red}{-\frac{1}{3}}$


・すべての点を直線で結びます


^*　$y=0$の代入で$x$が整数値にならない場合は、
$x=1$　→　$x=-1$　→　$x=2$　→　…
のように代入して、$x$座標と$y$座標の両方とも整数値の点を探し出します

$x$軸または$y$軸に平行な直線をかいたり、グラフから直線の式を求めます。

例題６

直線$x=3$のグラフをかきなさい

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・$x=p$（$p$は定数）のグラフは、$x$座標が$p$の点だけを通ります
→　 直線$x=3$は、　…$(3,-1)$、$(3,0)$、$(3,1)$、…などの点を通ります

・点を結ぶ直線をかきます

$x=p$（$p$は定数）のグラフは$y$軸に平行な直線になります

例題７

以下の直線の式を求めよ

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$x$軸に平行な直線であるため、直線上の点の$y$座標は一定になります
→　$y$座標が$\color{red}{-4}$で一定なので、直線の式は
$y=-4$
となります

２つの直線の交点は、それぞれの直線の式を連立方程式と見たときに、その解と同じになります。逆に、式が表す直線を作図して交点を求めることができれば、連立方程式を解くことができます。

例題８

連立方程式
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y=-1 …①\\ 4x+y=2…② \end{array} \right. \end{eqnarray}$
をグラフを使って解きなさい。

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・２つの一次関数のグラフをかく
→　①、②はそれぞれ以下のように変形できる
$\color{red}{ y = -x -1…①’}$
$\color{blue}{ y=-4x+2…②’ }$
グラフは下図


・２つのグラフの交点をもとめる
→　交点が$(1,-2)$なので
　　答えは$(x,y)=(1,-2)$

例題９

２つの直線の交点の座標を求めよ

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・直線の式を求める
①傾き：$\color{red}{-\frac{3}{4}}$、$y$切片：$\color{red}{+3}$
$\color{red}{y=-\frac{3}{4}x+3}$…①
②傾き：$\color{blue}{+1}$、$y$切片：$\color{blue}{+2}$
$\color{blue}{y=x+2}$…②


・連立方程式を解く
→　①、②の式を整理すると
$3x+4y=12$…①’
$x-y=-2$…②’
①’＋②’×4　$7x=4$
$x=\frac{4}{7}$…③
③を②に代入
$y=\frac{4}{7}+2=\frac{18}{7}$
$(x,y)=(\frac{4}{7},\frac{18}{7})$
つまり、直線①と②の交点は$(\frac{4}{7},\frac{18}{7})$