一次関数の式からグラフをかくことと、逆に、グラフから一次関数の式を求めます（y切片の値が整数値の場合）。プリントでは、２（１）ページ目が１（２）ページ目の答えになっています。

例題１

一次関数\( y = -2 x + 1 \)のグラフをかけ

解き方　表示

・式から傾きと\(y\)切片を読み取る
→　傾きは\(\color{red}{-2}\)、\(y\)切片は\(\color{blue}{+1}\)

・\(y\)切片の数値から、\(y\)軸上の位置に印をつける
→　\(y\)切片が\(\color{blue}{+1}\)なので、\(y\)軸上の\(y\)座標が\(\color{blue}{+1}\)の点に印をつける


・傾きを分数で表す
→　\(\color{red}{-2} = \frac{-2}{+1} \)

・分数で表した傾きから、他の点に印をつける
→　分母の\(+1\)は\(x\)軸方向に進む量、分子の\(-2\)は\(y\)軸方向に進む量


・印をつけた点を一本の直線で結ぶ

例題２

以下のグラフが表す一次関数の式を求めよ

解き方　表示

・グラフが格子点（\(x\)座標、\(y\)座標ともに整数の点）を通っている場所に印をつける


・\(y\)軸上の格子点を選び、その\(y\)座標を読む
下の例の場合は\( \color{blue}{ +1}\)　→　これが\(y\)切片


・格子点間の関係を見つける
\(x\)軸方向に\(+1\)、\(y\)軸方向に\(-2\)進むと隣の格子点がある
→　\( \frac{-2}{+1} = \color{red}{-2} \)が傾き


・一次関数の式を出す
→　傾き\(\color{red}{-2}\)、\(y\)切片\(\color{blue}{+1}\)より
\( y = \color{red}{-2} x \color{blue}{+ 1} \)

一次関数の式に\(x\)（または\(y\)）の値を代入し、対応する\(y\)（または\(x\)）の値を求めます。

例題３

一次関数\(y=-2x+3\)について、\(x=2\)のときの\(y\)の値を求めよ

解き方　表示

・一次関数の式に\(x\)の値を代入する
→　\(y=-2x+3\)の\(x\)に\(x=\color{red}{2}\)を代入
　　\(y=-2 \times \color{red}{2}+3 = -1\)

例題４

一次関数\(y=-2x+3\)について、\(y=-1\)のときの\(x\)の値を求めよ

解き方　表示

・一次関数の式に\(y\)の値を代入する
→　\(y=-2x+3\)の\(x\)に\(y=\color{blue}{-1}\)を代入
　　\(\color{blue}{-1}=-2x+3\)

・方程式を解いて\(x\)の値を求める
→　\(2x=3+1\)
　　\(2x=4\)
　　\(x=2\)

一次関数（直線）の式を計算で求めます。

例題５

傾きが\(5\)で、点\( (-1,3) \)を通る直線の方程式を求めよ

解き方　表示

・\( y=ax+b \)の式にあてはめる
→　傾きは\(a\)なので、\(y=5x+b\)…①となる

・点の座標から\(x\)と\(y\)の値を代入する
→　点\( (-1,3) \)なので、\(x=-1\)と\(y=3\)を①に代入
\( 3 = 5 \times (-1) + b \)
\( b = 2 \)

・求めた数を式にあてはめる
→　直線の式は\( y=5x+2 \)

例題６

２点\( (-4,-4) \)、\( (-1,0) \)を通る直線の方程式を求めよ

解き方　表示

・各点の座標から、\(y=ax+b\)に\(x\)と\(y\)の値を代入する
→　\( (-4,-4) \)から、\( -4=-4a+b \)
　　\( (-1,0) \)から、\( 0=-a+b \)
連立方程式を解くと\( (a,b)=(\frac{4}{3},\frac{4}{3}) \)

・求めた数を式にあてはめる
→　直線の式は\( y= \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \)

一次関数の変化の割合と変域を求めます。

例題７

一次関数\( y=-2x+1 \)について、\(x\)の値が\(-1\)から\(2\)まで増加したときの\(x\)の増加量、\(y\)の増加量、変化の割合を求めよ

解き方　表示

・\(x\)の値から、対応する\(y\)の値を求める
→　\(x\)の値が\(\color{red}{-1}\)から\(\color{blue}{2}\)まで増加なので
　　\(x=\color{red}{-1}\)のとき\(y=-2\times(\color{red}{-1})+1=\color{red}{3}\)
　　\(x=\color{blue}{2}\)のとき\(y=-2\times\color{blue}{2}+1=\color{blue}{-3}\)
これより、\((\color{red}{-1},\color{red}{3})\)から\((\color{blue}{2},\color{blue}{-3})\)に変化したことになる

・\(x\)の増加量、\(y\)の増加量、変化の割合を計算
\((\color{red}{-1},\color{red}{3})\)から\((\color{blue}{2},\color{blue}{-3})\)に変化したとき
\(x\)の増加量：\(\color{blue}{2}-(\color{red}{-1})=3\)
\(y\)の増加量：\(\color{blue}{-3}-\color{red}{3}=-6\)
変化の割合：\( \frac{yの増加量}{xの増加量} = \frac{-6}{3}=-2 \)

例題８

一次関数\( y=-2x+1 \)について、\(x\)の増加量が\(3\)のときの\(y\)の増加量を求めよ

解き方　表示

\(\small{(変化の割合)=}\frac{\large{(yの増加量)}}{\large{(xの増加量)}}\)
\(\small{(yの増加量)}\)

\(\small{=(xの増加量)\times(変化の割合)}\)
\(\small{(xの増加量)}\)

\(\small{=(yの増加量)\div(変化の割合)}\)

・変化の割合は\(y=\color{red}{a}x+b\)の\(\color{red}{a}\)
→　式は\(y=\color{red}{-2}x+1 \)
\((変化の割合)=\color{red}{-2}\)
\((yの増加量)=3\times(\color{red}{-2})=-6\)

例題９

一次関数\( y=-2x+1 \)について、\(-1 \leqq x \leqq 2\)のときの\(y\)の変域を求めよ

解き方　表示

・\(x\)の値から、対応する\(y\)の値を求める
→　\(x=\color{red}{-1}\)のとき\(y=-2\times (\color{red}{-1})+1=\color{red}{3}\)
　　\(x=\color{blue}{2}\)のとき\(y=-2\times\color{blue}{2}+1=\color{blue}{-3}\)
これより、\((\color{red}{-1},\color{red}{3})\)から\((\color{blue}{2},\color{blue}{-3})\)に変化したことになる

・\(y\)の変域を求める
\((\color{red}{-1},\color{red}{3})\)から\((\color{blue}{2},\color{blue}{-3})\)に変化したとき、\(\color{red}{3} > \color{blue}{-3}\)より
\(\color{blue}{-3} \leqq y \leqq \color{red}{3}\)

一次関数の式からグラフをかくことと、逆に、グラフから一次関数の式を求めます（変域が設定されている場合）。プリントでは、２（１）ページ目が１（２）ページ目の答えになっています。

例題１０

一次関数\( y = -2 x + 1 ( -1 \leqq x \leqq 2 ) \)のグラフをかけ

解き方　表示

・グラフをかく通常の手順で格子点に印をつける
　→　\(y = -2 x + 1\)より、傾き\(\color{red}{-2(=\frac{-2}{+1})}\)、\(y\)切片\(\color{blue}{+1}\)


・\(x\)の変域の両端が示す点の間を直線で結ぶ
→　\(-1 \leqq x \leqq 2\)から、\( x=-1 \)と\( x=2 \)の点の間を直線で結ぶ


・残りの部分を点線で結ぶ

例題１１

以下のグラフが表す一次関数の式を求めよ

解き方　表示

・点線部分を含めたグラフから、傾きと\(y\)切片を読み取る
　→　傾き\( \color{red}{ \frac{-2}{+1} = -2 } \)、\(y\)切片\( \color{blue}{ -1}\)より\( y = \color{red}{-2} x \color{blue}{+ 1} \)


・グラフの両端の点の\(x\)座標を読み取る
　→　\(x=\color{red}{-1}\)と\(x=\color{blue}{2}\)


・変域を決める
　→　\(\color{red}{-1} < \color{blue}{2}\)より、変域は\( -1 \leqq x \leqq 2 \)となるので、この線分をあらわす式は
\( y=-2x+1 ( -1 \leqq x \leqq 2 ) \)