展開・因数分解（中学）のプリント
このページは、中学で学習する式の展開と因数分解についての解説と無料の計算プリントを収録しています。類題を含む多数のプリントの中から、ほしいレベルのプリントを簡単に表示し、必要なだけダウンロードすることができます。計算力向上のためにご利用ください。
はじめに
中学３年の数学の最初に「式の展開・因数分解」を学習します。この単元は、計算練習を繰り返した数だけ成績が向上すると言っても過言ではありません。高校入試を意識した勉強が本格的に始まる中３生のスタートダッシュのためにも、多くの問題演習をこなしてもらいたいところです。
これに関連して、以下の「平方根」と「二次方程式」のプリントも公開しています。
平方根の計算プリント
中３で学習する平方根の計算プリントを無料で公開しています。類題（数字は異なるが解き方が同じ問題）が多く収録されているので、計算の反復練習に最適です。予習・復習・定期テスト対策・受験対策等にご利用下さい。
jyounji-terakoya.blogspot.com二次方程式のプリント
中３で学習する二次方程式の計算プリントを無料で公開しています。予習・復習・定期テスト対策・受験対策等にご利用下さい。
jyounji-terakoya.blogspot.comこれらのプリントの利用により何らかの不利益が生じた場合でも、当方は責任をとりません。利用規約にご同意の上、ご自由にご利用下さい。誤字・脱字や、間違いを発見された場合は、管理者（dsktcy.kkzn.junj@gmail.com）までご連絡いただけるとありがたいです。
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jyounji-terakoya.blogspot.com展開・因数分解の方法
公式
-
分配法則①（共通因数）
\( ax+ab=a(x+b) \) -
分配法則②
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd \) -
乗法公式①
\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) \) -
乗法公式②
\(x^2-a^2=(x+a)(x-a) \) -
乗法公式③
\(a^2 \pm 2ab+b^2=(a \pm b)^2 \)
計算のコツ
- 展開は分配法則で答えは必ず出る
-
式の展開ならば、分配法則だけで答えは必ず出ます。多くの問題を速く解くために乗法公式は有用ですが、適用方法を間違えると正解にたどり着けません。例えば、
\( (3x+2)(3x+1) \)
は乗法公式①でも解くことはできます。
\( (3x \color{blue}{+2})(3x\color{blue}{+1})=(3x)^2+\color{blue}{(2+1)} \times \color{red}{3}x+\color{blue}{2 \times 1} \)
しかし、赤字で書いた\(\color{red}{3}\)をかけ忘れる人をしばしば見かけます。無理をして乗法公式を使わずに、
\((3x+2)(3x+1)=(3x)^2+3x \times 1+2 \times 3x+2\times 1\)
のように分配法則②で展開したほうが間違いが少なく、無難です。 - 因数分解は、まず共通因数探しから
-
共通因数があれば、まずは分配法則の逆で因数分解をすることが基本です。例えば、
\( 16x^2-64 \)
の場合、いきなり乗法公式②を適用して
\( 16x^2-64=(4x)^2-8^2=(4x+8)(4x-8) \)
とやってしまう人がいます。間違いではないのですが、\( 4x+8 \)と\( 4x-8 \)はどちらも更に因数分解できるので、上の状態で止まってしまっては不正解になります。以下のように、まずは共通因数\( \color{red}{16} \)で因数分解し、さらに二回目の因数分解で乗法公式②を適用すれば、正解にたどり着きます。
\( 16x^2-64= \color{red}{16} (x^2-4)=16(x+2)(x-2) \) - 共通因数のない項数が２の式の因数分解には乗法公式②
-
共通因数で因数分解ができない項数が２の式を因数分解するためには、乗法公式②しか適用できません（中学で通常学習する内容の場合）。例えば
\( 961x^2 - 529 \)
の場合、961や529を素因数分解して共通因数を探そうとしてもなかなか出てこないかもしれません。しかし、項数が２の式を因数分解するには乗法公式②以外にはないので、それぞれの項が二乗の数（◯2）になっているはずです。二乗の数はそれほど多くはないので、\( 961=31^2 \)、\( 529=23^2 \)であることに気づくでしょう。すなわち、
\( 961x^2 - 529=(31x+23)(31x-23) \)
となります。 - 項数が３で、\( x^2 \)の項の係数が１より大きい式の因数分解は乗法公式③
-
中学数学で、\(x^2\)の係数が１より大きい項数３の式を（共通因数以外で）因数分解しなければならない場合は、乗法公式③を使うしかありません。例えば、
\( 49x^2 -42x+9 \)
の場合、共通因数では因数分解はできません。ところが、このような\(x^2\)の係数が１より大きい式を中学生が因数分解するためには、乗法公式③以外は適用できません。上式をよく見ると、\(49x^2=( \color{red}{7x} )^2\)、\(9= \color{blue}{3}^2\)であり、\(42x = 2 \times \color{red}{7x} \times \color{blue}{3} \)であることから、
\( 49x^2-42x+9=(7x-3)^2 \)
と因数分解できます。
展開・因数分解のプリント
解説を含む練習問題のプリント
簡単な解説と、それに合わせた練習問題を収録しているプリントです。予習用にも使えます。
計算問題のみのプリント
展開と因数分解は反対の関係にあります。以下のプリントでは、表が式の展開、裏が因数分解をする構成になっています。つまり、それぞれの答えが裏にあります。また、乱数を使って問題を作成しているので、１つのプリント内に同じ問題が入っている場合があります。
１種類の文字を使った式
ここでは、１種類の文字（\(x\)）を使った式の展開・因数分解を扱っています。
問題を選び、「更新」ボタンを押すと、pdfプリントへのリンクが更新されます。再度「更新」ボタンを押すと、問題が変わります。プリントを表示したい場合は、「pdfプリントの表示」をチェックして下さい。
２種類の文字を使った式
ここでは、２種類の文字（\(x\)と\(y\)）を使った式の展開・因数分解を扱っています。
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