円の半径を\(r\)とする。その円の円周\(L\)と面積\(S\)は、それぞれ
\( L = 2 \pi r \)
\( S = \pi r^2 \)
と表される。

例題１

半径4cmの円の円周は何cmか。

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円周\( L = 2 \pi \times 4 = 8 \pi \)(cm)

例題２

直径6cmの円の面積は何cm²か。

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半径\( r = 6 \div 2 = 3 \)より
面積\( S = \pi \times 3^2 = 9 \pi \)(cm²)

おうぎ形の半径を\(r\)、中心角を\(a\)°とする。そのおうぎ形の弧の長さ\(L\)と面積\(S\)は、それぞれ
\( L = 2 \pi r \times \frac{a}{360} \)
\( S = \pi r^2 \times \frac{a}{360} \)
と表される。

例題３

直径12cm、中心角90°のおうぎ形の弧の長さは何cmか。

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半径\(r=12 \div 2 =6\)cmより
弧の長さ\(L=2 \pi \times 6 \times \frac{90}{360}=3 \pi\)(cm)

例題４

半径3cm、中心角120°のおうぎ形の面積は何cm²か。

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面積\(S=\pi \times 3^2 \times \frac{120}{360}=3 \pi\)(cm²)

おうぎ形の半径\(r\)を、中心角\(a\)°とする。
おうぎ形の中心角を求めるには、以下の関係を利用するとよい。

・おうぎ形の弧の長さが\(L\)のとき
半径が同じ円またはおうぎ形の場合、中心角と弧の長さ（円周）は比例するので
\( \color{red}{2 \pi r : 360} = \color{blue}{L : a} \)
（\( a = \frac{ 180L }{\pi r} \)）

・おうぎ形の面積が\(S\)のとき
同様に、半径が同じ円またはおうぎ形の場合、中心角と面積は比例するので
\( \color{red}{\pi r^2 : 360} = \color{blue}{S : a} \)
（\( a = \frac{ 360S }{\pi r^2} \)）

例題５

半径5cm、弧の長さが5\(\pi\)cmのおうぎ形の中心角は何°か。

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半径\(r=5\)、弧の長さ\(L=5\pi\)より、中心角を\(a\)°とすると
\( 2 \pi r : 360 = L : a \)だから
\( 2\pi \times 5 : 360 = 5\pi : a \)
\( 10\pi : 360 = 5\pi : a \)
\( 10\pi a = 360 \times 5\pi \)
\( a = \frac{360 \times 5\pi}{10\pi} = 180 \)（°）

例題６

半径9cm、面積が27\(\pi\)cmのおうぎ形の中心角は何°か。

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半径\(r=9\)、面積\(S=27\pi\)より、中心角を\(a\)°とすると
\( \pi r^2 : 360 = S : a \)だから
\( \pi \times 9^2 : 360 = 27\pi : a \)
\( 81\pi : 360 = 27\pi : a \)
\( a = \frac{360 \times 27\pi}{81\pi} = 120 \)（°）

半径\(r\)、弧の長さ\(L\)のおうぎ形の面積\(S\)について、中心角を\(a\)°とすると、
\( L = 2 \pi r \times \frac{a}{360} \)
\( S = \pi r^2 \times \frac{a}{360} = \frac{1}{2} \times r \times ( 2 \pi r \times \frac{a}{360} ) \)
である。

よって\(S\)は、\(r\)と\(L\)があれば、中心角\(a\)を使わなくても
\(S=\frac{1}{2} rL \)
で求めることができる。

例題７

弧の長さが4\(\pi\)cm、半径が5cmのおうぎ形の面積は何cm²か。

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半径\(r=5\)、弧の長さ\(L=4\pi\)より、
面積\(S=\frac{1}{2} \times 5 \times 4\pi = 10\pi \)（cm²）

例題８

弧の長さが14\(\pi\)cm、面積が56\(\pi\)cm²のおうぎ形の中心角は何°か。

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弧の長さ\( L=14\pi \)、面積\( S=56\pi \)より、半径\(r\)は
\( 56\pi = \frac{1}{2} \times r \times 14\pi \)
\( 56 = 7r \)
\( r = 8 \)

中心角を\(a\)°とすると、
\( 2 \pi r : 360 = L : a \)だから
\( 2\pi \times 8 : 360 = 14\pi : a\ \)
\( 16\pi : 360 = 14\pi : a \)
\( 16\pi a = 360 \times 14\pi \)
\( a = \frac{360 \times 14\pi}{16\pi}=315 \)（°）