円の半径を$r$とする。その円の円周$L$と面積$S$は、それぞれ
$L = 2 \pi r$
$S = \pi r^2$
と表される。

例題１

半径4cmの円の円周は何cmか。

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円周$L = 2 \pi \times 4 = 8 \pi$(cm)

例題２

直径6cmの円の面積は何cm²か。

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半径$r = 6 \div 2 = 3$より
面積$S = \pi \times 3^2 = 9 \pi$(cm²)

おうぎ形の半径を$r$、中心角を$a$°とする。そのおうぎ形の弧の長さ$L$と面積$S$は、それぞれ
$L = 2 \pi r \times \frac{a}{360}$
$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}$
と表される。

例題３

直径12cm、中心角90°のおうぎ形の弧の長さは何cmか。

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半径$r=12 \div 2 =6$cmより
弧の長さ$L=2 \pi \times 6 \times \frac{90}{360}=3 \pi$(cm)

例題４

半径3cm、中心角120°のおうぎ形の面積は何cm²か。

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面積$S=\pi \times 3^2 \times \frac{120}{360}=3 \pi$(cm²)

おうぎ形の半径$r$を、中心角$a$°とする。
おうぎ形の中心角を求めるには、以下の関係を利用するとよい。

・おうぎ形の弧の長さが$L$のとき
半径が同じ円またはおうぎ形の場合、中心角と弧の長さ（円周）は比例するので
$\color{red}{2 \pi r : 360} = \color{blue}{L : a}$
（$a = \frac{ 180L }{\pi r}$）

・おうぎ形の面積が$S$のとき
同様に、半径が同じ円またはおうぎ形の場合、中心角と面積は比例するので
$\color{red}{\pi r^2 : 360} = \color{blue}{S : a}$
（$a = \frac{ 360S }{\pi r^2}$）

例題５

半径5cm、弧の長さが5$\pi$cmのおうぎ形の中心角は何°か。

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半径$r=5$、弧の長さ$L=5\pi$より、中心角を$a$°とすると
$2 \pi r : 360 = L : a$だから
$2\pi \times 5 : 360 = 5\pi : a$
$10\pi : 360 = 5\pi : a$
$10\pi a = 360 \times 5\pi$
$a = \frac{360 \times 5\pi}{10\pi} = 180$（°）

例題６

半径9cm、面積が27$\pi$cmのおうぎ形の中心角は何°か。

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半径$r=9$、面積$S=27\pi$より、中心角を$a$°とすると
$\pi r^2 : 360 = S : a$だから
$\pi \times 9^2 : 360 = 27\pi : a$
$81\pi : 360 = 27\pi : a$
$a = \frac{360 \times 27\pi}{81\pi} = 120$（°）

半径$r$、弧の長さ$L$のおうぎ形の面積$S$について、中心角を$a$°とすると、
$L = 2 \pi r \times \frac{a}{360}$
$S = \pi r^2 \times \frac{a}{360} = \frac{1}{2} \times r \times ( 2 \pi r \times \frac{a}{360} )$
である。

よって$S$は、$r$と$L$があれば、中心角$a$を使わなくても
$S=\frac{1}{2} rL$
で求めることができる。

例題７

弧の長さが4$\pi$cm、半径が5cmのおうぎ形の面積は何cm²か。

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半径$r=5$、弧の長さ$L=4\pi$より、
面積$S=\frac{1}{2} \times 5 \times 4\pi = 10\pi$（cm²）

例題８

弧の長さが14$\pi$cm、面積が56$\pi$cm²のおうぎ形の中心角は何°か。

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弧の長さ$L=14\pi$、面積$S=56\pi$より、半径$r$は
$56\pi = \frac{1}{2} \times r \times 14\pi$
$56 = 7r$
$r = 8$

中心角を$a$°とすると、
$2 \pi r : 360 = L : a$だから
$2\pi \times 8 : 360 = 14\pi : a\ $
$16\pi : 360 = 14\pi : a$
$16\pi a = 360 \times 14\pi$
$a = \frac{360 \times 14\pi}{16\pi}=315$（°）